Как сделать сопряжение в черчении. Сопряжения. Внутреннее сопряжение прямой линии с дугой

Часто при изображении на чертеже контура детали приходится выполнять плавный переход одной линии в другую (плавный переход между прямыми линиями или окружностями) для выполнения конструктивных и технологических требований. Плавный переход одной линии в другую называют сопряжением.

Для построения сопряжений необходимо определить:

• центры сопряжений (центры, из которых проводят дуги);
• точки касания/точки сопряжения (точки, в которых одна линия переходит в другую);
• радиус сопряжения (если он нс задан).

Рассмотрим основные типы сопряжений.

Сопряжение (касание) прямой и окружности

Построение прямой, касательной к окружности. При построении сопряжения прямой и окружности используется известный признак касания этих линий: прямая, касательная к окружности, составляет прямой угол с радиусом, проведенным в точку касания (рис. 1.12).

Рис. 1.12.

К - точка касания

Для проведения касательной к окружности через точку Л, лежащую вне окружности, необходимо:

• 1) соединить заданную точку А (рис. 1.13) с центром окружности О;
• 2) отрезок ОА разделить пополам (ОС = СА, см. рис. 1.7) и провести вспомогательную окружность радиусом СО (или СА);

Рис. 1.13.

3) точку /С, (или К.» поскольку задача имеет два решения) соединить с точкой А.

Линия АК^ (или АК.,) является касательной к заданной окружности. Точки K i и К 2 - точки касания.

Следует отметить, что рис. 1.13 иллюстрирует также один из способов точного графического построения двух перпендикулярных прямых (касательной и радиуса).

Построение прямой, касательной к двум окружностям. Обращаем внимание читателя на то, что задачу построения прямой, касательной к двум окружностям, можно рассматривать как обобщенный случай предыдущей задачи (построение касательной из точки к окружности). Сходство этих задач прослеживается из рис. 1.13 и 1.14.

Внешнее касание двух окружностей. При внешнем касании (см. рис. 1.14) обе окружности лежат но одну сторону от прямой.

На рис. 1.14 изображены малая окружность радиусом R с центром в точке А и большая окружность радиусом R { с центром в точ-

Рис. 1.14. Построение внешней касательной к двум окружностям ке О. Чтобы построить внешнюю касательную к этим окружностям, необходимо выполнить следующие действия:

• 1) через центр О большей окружности провести вспомогательную окружность радиусом (/?, - R);
• 2) построить касательные к вспомогательной окружности из точки А (центр малой окружности). Точки К { и К., - точки касания прямых и окружности (заметим, что задача имеет два решения);
• 3) точки К { и К 2 соединить с центром О и продолжить эти линии до пересечения с окружностью радиусом R v Точки пересечения К л и /С, являются точками касания (сопряжения);
• 4) через точку А провести радиусы, параллельные линиям ()К Л и ОК г Точки пересечения этих радиусов с малой окружностью - точки К- и К л являются точками касания (сопряжения);
• 5) соединив точки К л и /С (; , а также К л и К 5 , получить искомые касательные.

Внутреннее касание двух окружностей (окружности лежат по разные стороны от прямой, рис. 1.15) выполняется по аналогии с внешнем касанием, с той лишь разницей, что через центр О большей окружности проводится вспомогательная окружность радиусом /?, + R. Па рис. 1.15 изображено два возможных решения задачи.

Рис. 1.1

Сопряжение пересекающихся прямых дугой окружности заданным радиусом. Построение (рис. 1.16) сводится к построению окружности радиусом R, касающейся одновременно обеих заданных линий.

Для нахождения центра этой окружности проводим две вспомогательные прямые, параллельные заданным, на расстоянии R от каждой из них. Точка пересечения этих прямых является центром О дуги сопряжения. Перпендикуляры, опущенные из центра О на заданные прямые, определяют точки сопряжения (касания) /С, и К 2 .

Рис. 1.16.

Рис. 1.17. Построение сопряжения окружности и прямой дугой заданным радиусом R:

а - внутреннее касание; б - внешнее касание

Сопряжение окружности и прямой дугой заданным радиусом.

Примеры построения сопряжений окружности и прямой дугой заданным радиусом R приведены на рис. 1.17.

Плавный переход прямой линии в дугу или одной дуги в другую называют сопряжением. Для построения сопряжения надо найти центры, из которых проводят дуги, т. е. центры сопряжений (рис. 63). Затем нужно найти точки, в которых одна линия переходит в другую, т. е. точки сопряжений. При построении контура изображения сопрягающиеся линии нужно доводить точно до этих точек. Точка сопряжения лежит на перпендикуляре, опущенном из центра О дуги на сопрягаемую прямую (рис. 64, а), или на линии О 1 О 2 , соединяющей центры сопрягаемых дуг (рис. 64, б). Следовательно, для построения любого сопряжения дугой заданного радиуса нужно найти центр сопряжения и точку сопряжения.

Сопряжение двух пересекающихся прямых дугой заданного радиуса. Даны пересекающиеся под прямым, острым и тупым углами прямые линии (рис. 65, а). Нужно построить сопряжения этих прямых дугой заданного радиуса R.

Для всех трех случаев применяют общий способ построения.

1. Находят точку О - центр сопряжения, который должен лежать на расстоянии R от сторон угла в точке пересечения прямых, проходящих параллельно сторонам угла на расстоянии R от них (рис. 65, б).

Для построения прямых, параллельных сторонам угла, из произвольных точек, взятых на прямых, раствором циркуля, равным R, делают засечки и к ним проводят касательные.

2. Находят точки сопряжений (рис. 65, в). Для этого опускают перпендикуляры из точки О на заданные прямые.

3. Из точки О, как из центра, описывают дугу заданного радиуса R между точками сопряжений (рис. 65, в).

Сопряжение двух параллельных прямых. Заданы две параллельные прямые и на одной из них точка сопряжения т (рис. 66, а). Требуется построить сопряжение.

Построение выполняют следующим образом:

1. Находят центр сопряжения и радиус дуги (рис. 66, б). Для этого из точки m на одной прямой восставляют перпендикуляр до пересечения с другой прямой в точке п. Отрезок делят пополам (см. рис. 56).

2. Из точки О - центра сопряжения радиусом Оm = Оn описывают дугу до точек сопряжения тип (рис. 66, в).

Проведение касательной к окружности. Задана окружность с центром О и точка А (рис. 67, а). Требуется провести из точки А касательную к окружности.

1. Точку А соединяют прямой с заданным центром О окружности.

Строят вспомогательную окружность диаметром, равным ОА (рис. 67, а). Чтобы найти центр О 1 делят отрезок ОА пополам (см. рис. 56).

2. Точки m и n пересечения вспомогательной окружности с заданной - искомые точки касания. Точку А соединяют прямой с точками m или n (рис. 67, б). Прямая Am будет перпендикулярна к прямой Оm, так как угол АmО опирается на диаметр.

Проведение прямой, касательной к двум окружностям. Заданы две окружности радиусом R и R 1 . Требуется построить касательную к ним.

Различают два случая касания: внешнее (рис. 68, б) и внутреннее (рис. 68, в).

При внешнем касании построение выполняют следующим образом:

1. Из центра О проводят вспомогательную окружность радиусом, равным разности радиусов заданных окружностей, т. е. R - R 1 (рис. 68, а). К этой окружности из центра О 1 проводят касательную Оm. Построение касательной показано на рис. 67.

2. Радиус, проведенный из точки О в точку n, продолжают до пересечения в точке m с заданной окружностью радиусом R. Параллельно радиусу Оm проводят радиус 0 1 р меньшей окружности. Прямая, соединяющая точки сопряжений m и р,- касательная к заданным окружностям (рис. 68, б).

При внутреннем касании построение проводят аналогично, но вспомогательную окружность проводят радиусом, равным сумме радиусов R + R 1 (см. рис. 68, в). Затем из центра O 1 проводят касательную к вспомогательной окружности (см. рис. 67). Точку n соединяют радиусом с центром О. Параллельно радиусу On проводят радиус O 1 р меньшей окружности. Искомая касательная проходит через точки сопряжений m и р.

Сопряжение дуги и прямой линии дугой заданного радиуса. Заданы дуга окружности радиусом R и прямая. Требуется соединить их дугой радиусом R 1 .

1. Находят центр сопряжения (рис. 69, а), который должен находиться на расстоянии R 1 от дуги и от прямой. Такому условию соответствует точка пересечения прямой линии, параллельной заданной прямой, проходящей от нее на расстоянии R 1 , и вспомогательной дуги, отстоящей от заданной также на расстоянии R 1 . Поэтому проводят вспомогательную прямую, параллельную заданной прямой, на расстоянии, равном радиусу сопрягающей дуги R 1 (рис. 69, а). Раствором циркуля, равным сумме заданных радиусов R + R 1 , описывают из центра О дугу до пересечения с вспомогательной прямой. Полученная точка O 1 - центр сопряжения.

2. По общему правилу находят точки сопряжения (рис. 69, б). Соединяют прямой центры сопрягаемых дуг O 1 и О. Опускают из центра сопряжения O 1 перпендикуляр на заданную прямую.

3. Из центра сопряжения O 1 между точками сопряжения m и n проводят дугу, радиус которой равен R 1 (см. рис. 69, б).

Сопряжение двух дуг окружности дугой заданного радиуса. Заданы две дуги радиусами R 1 и R 2 . Требуется построить сопряжение дугой, радиус которой задан.

Различают два случая касания: внешнее (рис. 70, б) и внутреннее (рис. 70, в). В обоих случаях центры сопряжений должны быгь расположены на расстоянии, равном радиусу дуги сопряжения, от заданных дуг. По общему правилу на прямых, соединяющих центры сопрягаемых дуг, находят точки сопряжения.

Ниже приведен порядок построения для внешнего и внутреннего касаний.

Для внешнего касания. 1. Из центров O 1 и О 2 раствором циркуля, равным сумме радиусов заданной и сопрягающей дуг, проводят вспомогательные дуги (рис. 70, а); радиус дуги, проведенной из центра O 1 , равен R + R 3 , а радиус дуги, проведенной из центра O 2 , равен R 2 + R 3 . На пересечении вспомогательных дуг расположен центр сопряжения - точка О 3 ,.

2. Соединив прямыми точку O 1 с точкой O 3 и точку O 2 с точкой O 3 , находят точки сопряжения m и n (см. рис. 70, б),

3. Из точки О 3 раствором циркуля, равным R 3 , между точками m и n описывают сопрягающую дугу.

Для внутреннего касания выполняют те же построения, но радиусы дуг берут равными разности радиусов сопрягающей и заданной дуг, т.е. R 4 -R 1 и R 4 -R 2 . Точки сопряжения р и k лежат на продолжении линий, соединяющих точку О 4 с точками O 1 и O 2 .

Урок № 23.

Сопряжения

Показать несколько деталей, имеющих скругления.

Рассматривая детали, видим, что в их конструкции часто одна поверхность переходит в другую. Обычно эти переходы делают плавными, что повышает прочность деталей и делает их более удобными в работе.

На чертеже поверхности изображаются линиями, которые также плавно переходят одна в другую.

Такой плавный переход одной линии (поверхности) в другую линию (поверхность) называют сопряжением.

При построении сопряжения необходимо определить границу, где кончается одна линия и начинается другая, т.е. найти на чертеже точку перехода, которая называется точкой сопряжения или точкой касания .

Задачи на сопряжения условно можно разделить на 3 группы.

Первая группа задач включает в себя задачи на построение сопряжений, где участвуют прямые линии. Это может быть непосредственное касание прямой и окружности, сопряжение двух прямых дугой заданного радиуса, а также проведение касательной прямой к двум окружностям.

Построим окружность, касательную к прямой.

Построение окружности, касательной к прямой , связано с нахождением точки касания и центра окружности.

Задана горизонтальная прямая АВ , требуется построить окружность радиусом R , касательную к данной прямой (рис. 1).

Точка касания выбирается произвольно.

Так как точка касания не задана, то окружность радиуса R может коснуться данной прямой в любой точке. Таких окружностей можно провести множество. Центры этих окружностей (О 1 , О 2 и т.д.) будут находиться на одинаковом расстоянии от заданной прямой, т.е. на линии, расположенной параллельно заданной прямой АВ на расстоянии, равном радиусу заданной окружности (рис. 1). Назовем эту линию линией центров .

Проведем линию центров параллельно прямой АВ на расстоянии R . Так как центр касательной окружности не задан, возьмем любую точку на линии центров, например, точку О.

Прежде чем проводить касательную окружность, следует определить точку касания. Точка касания будет лежать на перпендикуляре, опущенном из точки О на прямую АВ . В пересечении перпендикуляра с прямой АВ получим точку К, которая будет точкой касания. Из центра О радиусом R от точки К проведем окружность. Задача решена.

Запишите в свои тетради в клетку следующие правила:

Если в сопряжении участвует прямая линия, то:

1)

2) точка касания лежит на перпендикуляре, проведенном из центра окружности к заданной прямой.

Сопряжение двух прямых.

На плоскости две прямые могут располагаться параллельно или под углом друг к другу.

Чтобы построить сопряжение двух прямых, необходимо провести окружность, касательную к этим двум прямым.

Откройте рабочие тетради на странице 31.

Рассмотрим сопряжение двух непараллельных прямых.

Две непараллельные прямые располагаются друг к другу под углом, который может быть прямым, тупым или острым. При выполнении чертежей деталей часто такие углы необходимо скруглить дугой заданного радиуса (рис.1). Скругление углов на чертеже есть не что иное, как сопряжение двух непараллельных прямых дугой окружности заданного радиуса. Для выполнения сопряжения необходимо найти центр дуги сопряжения и точки сопряжения.

Известно, что если в сопряжении участвует прямая линия, то центр дуги сопряжения находится на линии центров, которая проводится параллельно заданной прямой на расстоянии, равном радиусу R дуги сопряжения.

Поскольку угол образован двумя прямыми, то проводят две линии центров параллельно каждой прямой на расстоянии, равном радиусу R дуги сопряжения. Точка их пересечения будет центром дуги сопряжения.

Для нахождения точек сопряжения из точки О опускают перпендикуляры на заданные прямые и получают точки сопряжения К и К 1 . Зная точки и центр сопряжения, из точки О радиусом R проводят дугу сопряжения. При обводке чертежа следует сначала обвести дугу, а затем касательные прямые.

При построении сопряжения прямого угла упрощается проведение линии центров, так как стороны угла взаимно перпендикулярны. От вершины угла откладывают отрезки, равные радиусу R дуги сопряжения, и через полученные точки К и К 1 , которые будут точками касания, проводят две линии центров, параллельные сторонам угла. Они будут являться одновременно и линиями центров, и перпендикулярами, определяющими точки сопряжения К и К 1 (стр. 31, рис.1).

Стр. 31, задание 4. Сопряжение двух параллельных прямых.

Чтобы построить сопряжение двух параллельных прямых, необходимо провести дугу окружности, касательной к этим прямым (рис.3).

Рис.3

Радиус этой окружности будет равен половине расстояния между заданными прямыми. Так как точка касания не задана, подобных окружностей можно провести множество. Центры их будут находиться на прямой, проведенной параллельно заданным прямым на расстоянии, равном половине расстояния между ними. Эта прямая будет линией центров.

Точки касания (К 1 и К 2 ) лежат на перпендикуляре, опущенном из центра касательной окружности на заданные прямые (рис. 3а). Так как центр касательной окружности не задан, перпендикуляр проводится произвольно. Отрезок КК 1 делят пополам (рис.3б), проводят через точки пересечения засечек прямую линию параллельно заданным прямым, на которой будут располагаться центры окружностей, касательных к заданным параллельным прямым, т.е. эта линия будет линией центров. Поставив ножку циркуля в точку О , проводят дугу сопряжения (рис. 3в) от точки К до точки К 1 .

Построение прямых, касательных к окружностям

(Р.Т. стр.33).

Задание 1 . Проведите прямую, касательную к окружности через точку А , лежащую на окружности.

Из точки О проводим прямую OB через точку А . Из точки А любым радиусом проводим окружность. При пересечении с прямой получили точки 1 и 2. Из этих точек любым радиусом проводим дуги до пересечения между собой в точках C и D . Из точки C или D проводим прямую через точку А .

Она и будет касательной к окружности, так как касательная всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Задание 2 .

Это построение аналогично построению перпендикуляра к прямой через заданную точку, которое можно выполнить с помощью двух угольников.

Сначала угольник 1 кладется так, чтобы его гипотенуза совпадала с точками O и A . Затем к угольнику 1 прикладывается угольник 2 , который будет направляющим, т.е. по которому будет сдвигаться угольник 1 . Потом угольник 1 приставляем другим катетом к угольнику 2. Затем катаем угольник 1 по угольнику 2 до тех пор, пока гипотенуза не совпадет с точкой A . И проводим прямую, касательную к окружности через точку A .

Задание 3 . Проведите прямую, касательную к окружности через точку, не лежащую на этой окружности.

Даны окружность радиусом R и точка А , не лежащая на окружности, требуется провести из точки А прямую, касательную к данной окружности в верхней ее части. Для этого необходимо найти точку касания. Мы знаем, что точка касания лежит на перпендикуляре, проведенном из центра окружности к касательной прямой. Следовательно, касательная и перпендикуляр образуют прямой угол.

Зная, что всякий угол, вписанный в окружность и опирающийся на ее диаметр, является прямым, соединив точки А и О , принимают отрезок АО за диаметр описанной окружности. В пересечении описанной окружности и окружности радиуса R будет находиться вершина прямого угла (точка К ). Отрезок АО делим пополам при помощи циркуля, получаем точку О 1 (рис.4, б).

Из центра О 1 радиусом, равным отрезку АО 1 , проводим окружность, получаем точки К и К 1 в пересечении с окружностью радиуса R (рис.4 ,в).

Так как нужно провести только одну касательную к верхней части окружности, выбирают нужную точку касания. Этой точкой будет точка К . Точку К соединяем с точками А и О , получаем прямой угол, который опирается на диаметр АО описанной окружности радиусом R 1 . Точка К – вершина этого угла (рис.4, г), отрезки ОК и АК – стороны прямого угла, следовательно, точка К будет искомой точкой касания, а прямая АК – искомой касательной.

Рис.4

Проведение прямой, касательной к двум окружностям.

Даны две окружности радиусами R и R 1 , требуется построить касательную к ним. Возможны два случая касания: внешнее и внутреннее.

При внешнем касании касательная прямая находится с одной стороны от окружностей и не пересекает отрезок, соединяющий центры данных окружностей.

При внутреннем касании касательная прямая находится с разных сторон от окружностей и пересекает отрезок, соединяющий центры окружностей.

Стр. 33. Задание 5 . Проведите прямую, касательную к двум окружностям. Касание внешнее.

Прежде всего необходимо найти точки касания. Известно, что они должны лежать на перпендикулярах, проведенных из центров окружностей (О и О 1 ) к касательной.

Из точки О проводим окружность радиусом R - R 1 ,так как касание внешнее.

Разделим расстояние ОО 1 пополам и проведем окружность радиусом R =ОО 2 =О 1 О 2

Эта окружность пересекает окружность с радиусом R - R 1 в точке К. Соединяем эту точку с О 1 .

Из точки О через точку К проводим прямую до пересечения с окружностью радиусом R . Получили точку К 1 – первую точку касания.

Из точки О 1 проводим прямую, параллельную КК 1 , до пересечения с окружностью радиусом R 1 . Получили вторую точку касания К 2 . Соединяем точки К 1 и К 2 . Это и есть касательная к двум окружностям.

Задание 6 . Проведите прямую, касательную к двум окружностям. Касание внутреннее.

Построение аналогичное, только при внутреннем касании радиус вспомогательной окружности, проводящейся из точки О равен сумме радиусов окружностей R + R 1 .

Вторая группа задач на сопряжения включает в себя задачи, в которых участвуют только окружности и дуги. Плавный переход одной окружности в другую может происходить или непосредственно касанием, или через третий элемент – дугу окружности.

Касание двух окружностей может быть внешним (РТ: стр.32, рис.3) или внутренним (РТ: стр.32, рис.4).

Задание 3 (стр. 32)

При внешнем касании двух окружностей расстояние между центрами этих окружностей будет равно сумме их радиусов.

Из точки О радиусом R + R C проведем дугу. Из точки О 1 радиусом R 1 + R C О С - центр сопряжения.

Соединяем точки О и О 1 с центром сопряжения О С . На окружностях получили точки касания (сопряжения).

Из точки О С радиусом сопряжения R C 30 соединяем точки касания.

Задание 4 (стр. 32)

При внутреннем касании двух окружностей одна из касательных окружностей находится внутри другой окружности, и расстояние между центрами этих окружностей будет равно разности их радиусов.

Из точки О радиусом (R C – R ) проведем дугу. Из точки О 1 радиусом (R C – R 1 ) проведем дугу до пересечения с первой дугой. Получили точку О С - центр сопряжения.

Центр сопряжения О С соединяем с точками О и О 1 с и продлеваем прямую дальше.

На окружностях получили точки касания (сопряжения).

Из точки О С радиусом сопряжения R C 60 соединяем точки касания.

Третья группа задач на сопряжения включает в себя задачи на сопряжения прямой и дуги окружности дугой заданного радиуса.

Выполняя такое задание, решают как бы две задачи: проведение касательной дуги к прямой и касательной дуги к окружности. Касание в этом случае может быть как внешним, так и внутренним.

РТ: стр. 32. Задание 1. Сопряжение окружности и прямой. Касание внешнее. R C 20 .

Заданы прямая и окружность радиусом R , требуется построить сопряжение дугой радиуса R C 20 .

Так как в сопряжении участвует прямая линия, то центр дуги сопряжения находится на прямой, проведенной параллельно заданной прямой на расстоянии, равном радиусу сопряжения R C 20 . Поэтому параллельно заданной прямой на расстоянии 20 мм проводим еще одну прямую.

А центр дуги сопряжения при внешнем касании двух окружностей находится на окружности радиуса, равного сумме радиусов R и R C . Поэтому из точки О радиусом (R + R C О С

Затем находим точки касания. Первая точка касания - это перпендикуляр, опущенный из центра сопряжения на заданную прямую. Вторую точку сопряжения находим, соединив центр сопряжения О С и центр окружности R . Точка касания будет лежат на первом пересечении с окружностью, так как касание внешнее.

Затем из точки О С радиусом R C 20 соединяем точки сопряжения.

РТ: стр. 32. Задание 2. Сопряжение окружности и прямой. Касание внутреннее. R C 60 .

Параллельно заданной прямой проводим линию центров на расстоянии 60 мм. Из точки О радиусом (R с - R ) проводим дугу до пересечения с новой прямой (линией центров). Получим точку О С , которая является центром сопряжения.

Из О С проводим прямую через центр окружности точку О и перпендикуляр на заданную прямую. Получаем две точки касания. И затем из центра сопряжения радиусом 60 мм соединяем точки касания.

Форма многих деталей имеет плавный переход одной поверх­ности в другую (рис. 59). Для построения на чертежах контуров таких поверхностей используются сопряжения - плавный пере­ход одной линии в другую.

Для построения линии сопряжений необходимо знать центр, точки и радиус сопряжения.

Центром сопряжения является точка, равноудаленная от со­прягаемых линий (прямых или кривых). В точках сопряжений происходит переход (касание) линий. Радиусом сопряжения на­зывается радиус дуги сопряжения, с помощью которой происхо­дит сопряжение.

Рис. 59. Примеры плавного соединения поверхностей хлебницы и линий на проекции ее боковой стенки

Рис. 60. Сопряжение углов на примере построения проекции боковой стенки хлебницы

Центр сопряжения должен находиться на пересечении допол­нительно построенных линий (прямых или дуг), равноудаленных от заданных линий (прямых или дуг) либо на величину радиуса сопряжения, либо на специально рассчитываемое для данного типа сопряжения расстояние.

Точки сопряжения должны находиться на пересечении задан­ной прямой с перпендикуляром, опущенным из центра сопряже­ния на заданную прямую, либо на пересечении заданной окруж­ности с прямой, соединяющей центр сопряжения с центром за­данной окружности.

Сопряжение углов. Рассмотрим последовательность сопряже­ния углов (рис. 60) на примере построения проекции боковой стенки хлебницы:

1) построим трапецию, условно принимая ее за изображение формы заготовки для стенки хлебницы;

2) найдем центры сопряжения как точки пересечения вспомо­гательных линий, равноудаленных от сторон трапеции на рас­стояние, равное радиусу сопряжения, и параллельных им;

3) найдем точки сопряжения - точки пересечений перпенди­куляров, опущенных на стороны трапеции из центров сопря­жения;

4) из центров сопряжения проведем дуги радиусом сопряже­ния от одной точки сопряжения до другой; при обводке получен­ного изображения вначале обведем дуги сопряжений, а затем - сопрягаемые линии.

Сопряжение прямой и окружности дугой заданного радиуса. Рассмотрим это на примере построения фронтальной проекции детали «Опора» (рис. 61). Будем считать, что большая часть по­строения проекции уже сделана; необходимо отобразить плавный переход цилиндрической части поверхности к плоской. Для этого необходимо выполнить сопряжение окружности (дуги окружно­сти) с прямой линией заданным радиусом:

1) найдем центры сопряжения как точки пересечения четырех вспомогательных линий: двух прямых, параллельных верхнему ребру основания «Опоры» и удаленных от нее на расстояние, равное радиусу сопряжения, и двух вспомогательных дуг, от­стоящих от заданной дуги (цилиндрической поверхности) «Опо­ры» на расстояние, равное радиусу сопряжения;

2) найдем точки сопряжения как точки пересечения: а) задан­ных прямых (ребер «Опоры») с перпендикулярами, опущенными к ним из центров сопряжения; б) заданной дуги, изображающей на чертеже цилиндрическую поверхность опоры, с прямыми, со­единяющими центры сопряжения с центром сопрягаемой дуги;

3) из центров сопряжения проводим дуги радиусом сопряже­ния от одной точки сопряжения до другой. Обводим изображе­ние.

Сопряжение дуг окружностей дугами заданного радиуса. Рассмотрим это на примере построения фронтальной проекции формы для выпечки печенья (рис. 62), имеющей плавные перехо­ды одной поверхности в другую:

1) проведем вертикальную и горизонтальные осевые линии. На них найдем центры и проведем три дуги радиусом R;

2) найдем центр сопряжения двух верхних окружностей как точку пересечения вспомогательных дуг радиусами, равными сумме радиусов заданной окружности (R) и сопряжения (R 1), т.e.R + R 1 ;

3) найдем точки сопряжения как точки пересечения заданных окружностей с прямыми, соединяющими центр сопряжения с центрами окружностей. Такое сопряжение называют внешним сопряжением;

Рис. 61. Сопряжение дуги и прямых линий на примере построения фронтальной проекции детали «Опора»

Рис. 62. Сопряжение трех дуг окружностей дугами заданных радиусов на примере
построения фронтальной проекции формы для выпечки печенья

4) построим сопряжения двух окружностей дугой заданного радиуса сопряжения R 2 . Сначала найдем центр сопряжения перассечением дуг вспомогательных окружностей, радиусы которых равны разности радиуса сопряжения R 2 и радиуса окружности R, т. е. R 2 - R. Точки сопряжения получены на пересечении ок­ружности с продолжением линии, соединяющей центр сопряже­ния с центром окружности. Из центра сопряжения проведем ду­гу радиусом R 2 . Такое сопряжение называется внутренним со­пряжением;

5) аналогичные построения выполним с другой стороны от оси симметрии.

Сопряжение.

Сопряжение- плавный переход одной линии в другую.

Сопряжение пересекающихся прямых дугой окружности заданного радиуса.

Задача сводится к проведению окружности, касающейся обеих заданных прямых линий.

Вариант 1.

Проводим вспомогательные прямые параллельно заданным на расстоянии R от заданных.

Точка пересечения этих прямых будет центромО дуги сопряжения. Перпендикуляры, опущенные из центра О на

заданные прямые, определят точки касания К и К 1 .

Вариант 2.

Построение такое же.

Сопряжения. Построение сопряжения линий.

Вариант 3.

Если требуется провести окружность, чтобы она касалась трех пересекающихся прямых линий, то в этом случае

Радиус не может быть задан условиями задачи. Центр О окружности находится на пересечении биссектрис углов

В и С . Радиусом окружности является перпендикуляр, опущенный из центра О на любую из 3-х заданных прямых

Линий.

Сопряжения. Построение сопряжений линий.

Построение внешнего сопряжения данной окружности с данной прямойдугой заданного радиуса R 1 .

Из центра О данной окружности проводим дугу вспомогательной окружности радиусом R+R 1 .

Проводим прямую параллельно заданной на расстоянии R 1 .

Пересечение прямой и вспомогательной дуги даст точку центра дуги сопряжения О 1 .

Точка касания дуг К лежит на линии ОО 1 .

Точка касания дуги и линии К 1 лежит на пересечении перпендикуляра из точки О 1 на прямую с дугой.

Сопряжения. Построение внешнего сопряжения окружности с прямой.

Построение внутреннего сопряжения данной окружности с данной прямой дугой заданного радиуса R 1 .

Из центра О данной окружности проводим вспомогательную окружность радиусом R- R 1 .

Сопряжения. Построение внутреннего сопряжения окружности с прямой.

Построение сопряжения двух данных окружностей дугой заданного радиуса R 3 .

Внешнее касание.

Из центра окружности О 1 R 1 +R 3 .

Из центра окружности О 2 описываем дугу вспомогательной окружности радиусом R 2 +R 3 .

Пересечение дуг вспомогательных окружностей даст точку О 3 , которая является центром дуги сопряжения

Точки касания К 1 и К 2 находятся на линиях О 1 О 3 и О 2 О 3 .

Внутреннее касание

Из центра окружности О 1 описываем дугу вспомогательной окружности радиусом R 3 -R 1 .

Из центра окружности О 2 описываем дугу вспомогательной окружности радиусом R 3 - R 2 .

Пересечение

(окружности с радиусом R 3) .

Сопряжения. Сопряжение двух окружностей дугой.

Внешнее и внутреннее касание .

Заданы две окружности с центрами О 1 и О 2 с радиусами r 1 и r 2 . Необходимо провести окружность заданного

Радиуса R так, чтобы обеспечить с одной окружностью внутреннее касание, а с другой - внешнее.

Из центра окружности О 1 описываем дугу вспомогательной окружности радиусом R-r 1 .

Изцентра окружности О 2 описываем дугу вспомогательной окружности радиусом R+r 2 .

Пересечение дуг вспомогательных окружностей даст точку, которая является центром дуги сопряжения

(окружности с радиусом R) .

Сопряжения. Сопряжение двух окружностей дугой.

Построение окружности, проходящей через заданную точку А и касающейся данной окружности

в заданной точке В.

Находим середину прямой линии АВ . Через середину линии АВ поводим перпендикуляр. Пересечение продолжения

Линии ОВ и перпендикуляра дает точку О 1 . О 1 - центр искомой окружности с радиусом R = O 1 B = O 1 A.

Сопряжения. Внутреннее касание окружности и дуги .

Построение сопряжения окружности с прямой линией в заданной на прямой точке А.

Из заданной точки А линии LM восстанавливаем перпендикуляр к прямой линии LM . На продолжении

Перпендикуляра откладываем отрезок АВ . АВ = R. Соединяем точку В с центром окружности О 1 прямой.

Из точки А проводим прямую линию параллельно ВО 1 до пересечения с окружностью. Получим точку К - точку

Касания. Соединим точку К с центром окружности О 1 . Продлим линии О 1 К и АВ до пересечения. Получим точку

О 2 , которая является центром дуги сопряжения с радиусом О 2 А = О 2 К.

Сопряжения. Сопряжение окружности с прямой в заданной точке.

Построение сопряжения окружности с прямой линией в заданной на окружности точке А.

Внешнее касание .

Проводим касательную к окружности через точку А. Пересечение касательной с прямой линией LM даст точку В.

Делим угол пополам

О 1 . О 1 О 1 А = О 1 К.

Внутреннее касание.

Проводим касательную к окружности через точку А. Пересечение касательной с прямой LM даст точку В.

Делим угол , образованный касательной и прямой линией LM , пополам . Пересечение биссектрисы угла и

Продолжения радиуса ОА даст точку О 1 . О 1 - О 1 А = О 1 К.

Сопряжения. Сопряжение окружности с прямой в заданной точке на окружности.

Построение сопряжения двух неконцентрических дуг окружностей дугой заданного радиуса.

Проводим из центра дуги О 1 вспомогательную дугу радиусом R 1 -R 3 . Проводим из центра дуги О 2 вспомогательную

Дугу радиусом R 2 +R 3 . Пересечение дуг даст точку О. О - центр дуги сопряжения с радиусом R 3 . Точки касания

К 1 и К 2 лежат на линиях ОО 1 и ОО 2 .

Сопряжения. Сопряжение 2-х неконцентрических дуг окружностей дугой.

Построение лекальной кривой подбором дуг.

Подбирая центры дуг, совпадающих с участками кривой, можно циркулем вычертить любую лекальную кривую.

Для того чтобы дуги плавно переходили одна в другую, необходимо, чтобы точки их сопряжения (касания)

Находились на прямых линиях, соединяющих центры этих дуг.

Последовательность построений.

Подбираем центр 1 дугипроизвольного участка ab.

На продолжении первого радиуса подбираем центр 2 радиуса дуги участка bc.

На продолжении второго радиуса подбираем центр 3 радиуса дуги участка cd и т. д.

Так строим всю кривую.

Сопряжения. Подбор дуг.

Построение сопряжения двух параллельных прямых двумя дугами.

Заданные на прямых параллельных линиях точки А и В соединяем линией АВ.

Выбираем на прямой АВ произвольную точку М .

Делим отрезки АМ и ВМ пополам .

Восстанавливаем в серединах отрезков перпендикуляры.

В точках А и В, заданных прямых, восстанавливаем перпендикуляры к прямым.

Пересечение соответствующих перпендикуляров даст точки О 1 и О 2 .

О 1 центр дуги сопряжения с радиусом О 1 А = О 1 М.

О 2 центр дуги сопряжения с радиусом О 2 В = О 2 М.

Если точку М выбрать на середине линии АВ , то радиусы дуг сопряжения будут равны.

Касание дуг в точке М , находящейся на линии О 1 О 2 .

Сопряжения. Сопряжение параллельных прямых двумя дугами.